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01.09.2021

La meccanica dei viaggi spaziali

 

 

Organizzare una missione spaziale è un’impresa, oltre che costosa, anche molto complessa, e richiede la collaborazione e l’integrazione di numerose discipline come l’ingegneria, la medicina spaziale e, naturalmente, la fisica, a partire dalla meccanica. Vediamo alcuni principi di meccanica che tornano utili per inviare un veicolo nello spazio.

 

L’equazione del razzo

 

Chi studia le leggi della dinamica è abituato a pensare che la forza impressa a un oggetto sia uguale alla massa dell’oggetto moltiplicata per la sua accelerazione; ma questo vale solo per quei sistemi la cui massa non varia apprezzabilmente nel tempo. Per un razzo, questa ipotesi non può valere: per sollevarsi da terra, gli attuali propulsori consumano una massa considerevole, paragonabile o superiore a quella del carico.

 

È necessario dunque servirsi di una formulazione più generale della seconda legge della dinamica, che comprenda i sistemi a massa variabile: secondo questa formulazione, la forza applicata su un oggetto è pari alla variazione nel tempo della sua quantità di moto, definita come prodotto della massa per la velocità. Usando le regole della derivazione, questo si traduce nell’equazione:

 

 

Cioè, al classico  si aggiunge un termine che include la variazione della massa nel tempo.

 

Clicca qui per guardare la video spiegazione di Neil DeGrasse Tyson sull’equazione del razzo.

 

Consideriamo ora il caso in cui il razzo sia uscito dall’influenza gravitazionale terrestre e si trovi in una regione di spazio in cui la forza degli altri pianeti o del Sole è trascurabile (). L’equazione precedente diventa:

 

 

Risolvendo l’equazione differenziale tramite gli integrali definiti (e ricordando che sia la massa, sia la velocità variano nel tempo), si trova che la variazione massima di velocità del razzo e la massa del sistema formato da razzo e combustibile sono legate dalla relazione

 

 

Dove  è una misura della velocità con cui il gas di scarico è espulso dal razzo, mentre  e  sono rispettivamente la massa totale del sistema con e senza propellente. La formula precedente è chiamata equazione del razzo di Tsiolkovskij dal nome dello scienziato russo che fu pioniere dell’ingegneria aerospaziale e che per primo la applicò alla teoria dei viaggi spaziali.

 

Trasferimento alla Hohmann

 

Uno degli obiettivi principali nella progettazione delle missioni spaziali è quello di diminuire il più possibile la quantità di propellente necessario: ogni chilogrammo di peso extra rende la missione molto più costosa e più complicata. Per questo motivo ha ricevuto grande attenzione il problema di quale tragitto utilizzare per permettere a sonde e navicelle spaziali di raggiungere un altro pianeta con la minor spesa di energia possibile.

 

Quando lanciamo un veicolo spaziale dalla Terra verso un altro pianeta, dobbiamo innanzitutto tener presente che questo oggetto si trova fin da principio in orbita intorno al Sole, essendo solidale con il sistema di riferimento terrestre. Dal momento del lancio, l’orbita del veicolo spaziale va modificata in modo da coincidere con l’orbita del pianeta di arrivo.

 

È stato calcolato che se il veicolo viene lanciato quando la Terra è in perielio (cioè, al punto della sua orbita più vicino al Sole) e la si fa arrivare quando l’altro pianeta è in afelio, la traiettoria risultante è proprio quella che permette di minimizzare la quantità di propellente richiesto: si parla allora di orbita di trasferimento alla Hohmann, così chiamata in onore dell’ingegnere tedesco che l’ha illustrata nel 1925. Quest’orbita ha la caratteristica di essere tangente alla velocità sia del pianeta di partenza, sia di quello di arrivo.

 

Immagine da Phoenix7777 via Wikimedia Commons, elaborata a partire dai dati di HORIZONS System, JPL, NASA, licenza CC BY-SA 4.0

 

Le orbite dei pianeti (e degli oggetti a essi solidali) intorno al Sole sono definite dalla loro energia. Oggetti più vicini avranno un’energia minore, e viceversa. Per effettuare un trasferimento alla Hohmann verso un pianeta esterno, come Marte, occorre dunque fornire energia al veicolo spaziale, accelerandolo nella direzione del moto terrestre; viceversa per un pianeta interno come Venere, nel qual caso il veicolo va decelerato.

 

Inoltre, il trasferimento deve avvenire in un intervallo di tempo opportuno, se si vuole che il veicolo arrivi all’orbita finale in contemporanea col pianeta: per questo motivo, si parla di finestre di lancio – periodi di tempo in cui le posizioni reciproche dei due pianeti permettono di congiungerli con un trasferimento alla Hohmann. Per esempio, l’opportunità di lanciare oggetti verso Marte con minimo dispendio di energia si verifica all’incirca ogni 25-26 mesi.

 

La fionda gravitazionale

 

Per raggiungere corpi molto lontani, come i pianeti più esterni, un semplice trasferimento alla Hohmann richiederebbe molto tempo e molto propellente per imprimere al veicolo spaziale le accelerazioni e decelerazioni richieste. In questi casi, si sfrutta la tecnica del gravity assist o fionda gravitazionale: questa manovra, suggerita per la prima volta dal matematico Giuseppe “Bepi” Colombo nel 1973, sfrutta la gravità di pianeti più vicini per dare una “spinta” al veicolo.

Come funziona la fionda gravitazionale? Supponiamo che un veicolo spaziale si avvicini a un pianeta fermo: per la conservazione dell’energia, mentre si avvicina la sua energia cinetica aumenta, ossia, il veicolo accelera; tuttavia, quando si allontana rallenta nuovamente fino a tornare alla velocità iniziale.

 

Ma i pianeti del sistema solare non sono fermi: ciascuno viaggia intorno al Sole con la sua velocità di rivoluzione, e quindi un momento orbitale (che, ricordiamo, è dato dal prodotto vettoriale della quantità di moto del pianeta e del raggio vettore che collega i centri di massa del pianeta e del Sole).

 

Clicca qui per guardare il video della NASA sul Gravity assist.

 

Così, durante l’avvicinamento al pianeta, la gravità attira il veicolo spaziale e gli trasferisce parte del suo momento orbitale; dato che il veicolo è molto più leggero del pianeta, questo gli imprime una forte accelerazione. Più il pianeta si avvicina, maggiore sarà la velocità con cui si allontana dal pianeta. In alcuni casi, si fornisce una ulteriore spinta al veicolo accendendone i razzi nel momento di massimo avvicinamento.

 

Il fenomeno è simile al trasferimento di quantità di moto che si verifica durante un urto elastico, con la differenza che nel gravity assist si trasferisce momento angolare. E poiché il momento angolare si conserva, il pianeta perderà una frazione della sua velocità orbitale, che però – data la differenza di massa tra il pianeta e il veicolo – è talmente piccola da essere trascurabile.

 

Adesso tocca a te

 

  • Vediamo un po’ di numeri: con un gruppo di compagni, provate a indovinare quale frazione del peso di un’astronave che deve uscire dal campo gravitazionale terrestre è costituita da propellente, e qual è il costo in dollari di ogni chilogrammo di carico. Dopodiché, fate una ricerca in rete e confrontate le risposte che avete dato con i valori reali.
  • Un’astronave che si trova nello spazio interstellare deve aumentare la sua velocità di 10 km/s; sapendo che circa il 40% della sua massa consiste di propellente, qual è la velocità minima alla quale deve espellere gas di scarico?
  • A partire dalle caratteristiche del moto orbitale di Marte e della Terra, prova a dare una spiegazione matematica qualitativa del motivo per cui le finestre di lancio per le missioni per Marte si presentano ogni 26 mesi.
  • Fai una ricerca su un’importante missione spaziale (come Mariner 10, Voyager 1, Cassini o Juno) che ha fatto uso di uno o più assist gravitazionali per raggiungere la sua destinazione.